Уважаемые клиенты! На данный момент наш магазин не принимает заказов из-за технических причин. Вы можете отправить ваш заказ через корзину на нашем сайте и мы свяжемся с вами, как только наше производство снова заработает. Приносим свои извинения за неудобства.
Парадоксы и мысленные эксперименты
Парадоксы, мысленные эксперименты и задачи, решения которых, на первый взгляд, противоречат здравому смыслу. Парадоксы и задачи, решение которых могут показаться неожиданными. Более того, многим людям бывает сложно принять их правильные решения даже после того, как им эти решения рассказали.
Синкер собрал интересные задачи и парадоксы в этой статье, а также их решения, чтобы никого не мучить :)
Синкер собрал интересные задачи и парадоксы в этой статье, а также их решения, чтобы никого не мучить :)
Парадокс Монти Холла
Задача
Давайте пофантазируем: вы участвуете в розыгрыше главного приза национальной лотереи — автомобиля. Напротив вас три двери, за одной — приз, за другими двумя — козлята. Вам нужно выбрать одну дверь. Например, ваш выбор — дверь с номером 1. Ведущий всегда знает, где находится главный приз, а где — козлята, поэтому он следующим шагом открывает не выбранные вами двери, а другие двери, где находится козленок. Например, это двери с номером 3. Вы видите, что за ними находится козленок. Затем ведущий спрашивает вас: «Готовы ли вы изменить свое первое решение (двери номер 1 и выбрать дверь номер 2? Или все же вы оставите свой выбор неизменным и выберете дверь, на которую показали впервые?».
Вопрос
Стоит ли менять свой выбор и открыть дверь номер 2 или все-таки оставить свой первый выбор и открыть двери номер 1? Увеличатся ваши шансы выиграть приз (автомобиль), если вы примете предложение ведущего и измените свой первоначальный выбор?
Давайте пофантазируем: вы участвуете в розыгрыше главного приза национальной лотереи — автомобиля. Напротив вас три двери, за одной — приз, за другими двумя — козлята. Вам нужно выбрать одну дверь. Например, ваш выбор — дверь с номером 1. Ведущий всегда знает, где находится главный приз, а где — козлята, поэтому он следующим шагом открывает не выбранные вами двери, а другие двери, где находится козленок. Например, это двери с номером 3. Вы видите, что за ними находится козленок. Затем ведущий спрашивает вас: «Готовы ли вы изменить свое первое решение (двери номер 1 и выбрать дверь номер 2? Или все же вы оставите свой выбор неизменным и выберете дверь, на которую показали впервые?».
Вопрос
Стоит ли менять свой выбор и открыть дверь номер 2 или все-таки оставить свой первый выбор и открыть двери номер 1? Увеличатся ваши шансы выиграть приз (автомобиль), если вы примете предложение ведущего и измените свой первоначальный выбор?
Решение
На первый взгляд все выглядит так: после того, как ведущий открыл дверь номер 3, где находится козленок, автомобиль может быть за одной из двух дверей (дверь номер 1 или номер 2). Игрок не имеет больше подсказок, где находится автомобиль, поэтому вероятность выиграть для него одинакова и составляет 1/2 (50% на 50%). Игроку кажется, что изменение решения (открыть дверь номер 2, а не номер 1 не даст ему дополнительных преимуществ и именно в этом кроется парадокс этой задачи — вероятность 50 на 50 процентов неправильная!
Почему? На одну из дверей указали вы, за другой является приз, значит остаются только одни двери, которые может ведущий открыть при вас. Именно в момент открытия дверей номер 3, ведущий негласно сообщает вам информацию, что за этой дверью приза нет, и вам лучше изменить свое решение и открыть дверь номер 2 вместо номера 1. Изменение первоначального решения увеличивает шансы игрока в два раза. Такой вывод противоречит интуитивному восприятию большинства людей, поэтому эту задачу называют парадоксом Монти Холла.
На самом деле ваш первый случайный выбор разбивает все двери на две группы. За дверью, что вы выбрали приз находится с вероятностью 1/3 (~ 33%), по двум другим - с вероятностью 2/3 (~ 66%). Но ведущий вносит изменения: он открывает одну дверь во второй группе. И теперь вся вероятность 2/3 относится только к двум закрытых дверей (номер 1 и номер 2).
На первый взгляд все выглядит так: после того, как ведущий открыл дверь номер 3, где находится козленок, автомобиль может быть за одной из двух дверей (дверь номер 1 или номер 2). Игрок не имеет больше подсказок, где находится автомобиль, поэтому вероятность выиграть для него одинакова и составляет 1/2 (50% на 50%). Игроку кажется, что изменение решения (открыть дверь номер 2, а не номер 1 не даст ему дополнительных преимуществ и именно в этом кроется парадокс этой задачи — вероятность 50 на 50 процентов неправильная!
Почему? На одну из дверей указали вы, за другой является приз, значит остаются только одни двери, которые может ведущий открыть при вас. Именно в момент открытия дверей номер 3, ведущий негласно сообщает вам информацию, что за этой дверью приза нет, и вам лучше изменить свое решение и открыть дверь номер 2 вместо номера 1. Изменение первоначального решения увеличивает шансы игрока в два раза. Такой вывод противоречит интуитивному восприятию большинства людей, поэтому эту задачу называют парадоксом Монти Холла.
На самом деле ваш первый случайный выбор разбивает все двери на две группы. За дверью, что вы выбрали приз находится с вероятностью 1/3 (~ 33%), по двум другим - с вероятностью 2/3 (~ 66%). Но ведущий вносит изменения: он открывает одну дверь во второй группе. И теперь вся вероятность 2/3 относится только к двум закрытых дверей (номер 1 и номер 2).
Всегда есть шанс проиграть, но изменение выбора увеличивает вероятность выигрыша.
Ссылка: http://www.michurin.net/probability-theory/Monty-H...
Ссылка: http://www.michurin.net/probability-theory/Monty-H...
Парадокс мальчика и девочки
Задача
Мистер Смит — счастливый отец двух детей и, по крайней мере, один из детей — сын.
Вопрос
Какова вероятность, что второй ребенок также мальчик?
Интуитивная ответ 1/2 — неправильная.
Мистер Смит — счастливый отец двух детей и, по крайней мере, один из детей — сын.
Вопрос
Какова вероятность, что второй ребенок также мальчик?
Интуитивная ответ 1/2 — неправильная.
Решение
Существуют четыре варианта для семьи с двумя детьми:
Нам известно, что один из детей — сын, поэтому для нас имеют значение только первые три варианта. Из приведенных примеров мы видим, что в двух из трех вариантов есть и девочка, и мальчик и только в одном варианте оба мальчики, поэтому правильная вероятность составляет 1/3. Согласно условию задачи, что один из детей — сын, имеет смысл рассматривать только второго ребенка, которая может быть как сыном, так и дочерью. Исходя из выше изложенного, вероятность составляет 1/2. Этот ответ будет правильным только тогда, когда каждый ребенок рассматривается отдельно, отвечая на вопрос «Какой процент вероятности, что второй ребенок — сын?». Но наша задача требует выполнения двух условий: какова вероятность, что один ребенок — сын (первое условие), и при том, что один ребенок точно сын?
Рассмотрим более подробно решение задачи:
Например, есть 4000 семей, имеющих двое детей. В первой группе с 2000 семей первый ребенок — сын. Во второй группе семей первой родилась дочь. Делим первую группу семей поровну: 1000 семей, где второй ребенок - сын; и 1000 семей, где второй ребенок - дочь. Вторую группу (где родилась первая девочка) также делим 1000 семей, где второй ребенок - сын и 1000 семей - дочь. Подводя итог, мы видим, что 1000 семей имеют двух сыновей (С + С), 1000 семей имеют двух дочерей (Д + Д), 2000 семей имеют и сына и дочь (С + Д) и (Д + С). По условиям задачи, семьи, где есть одни дочери, нас не интересуют. Который мы имеем вывод? С 3000 семей только 1000 имеет двух сыновей, а в 2000 семей имеют и сына и дочь. Поэтому вероятность, что дети разного пола, составляет 2/3.
Источник: https://scienceparadoxes.fandom.com
Существуют четыре варианта для семьи с двумя детьми:
- Старший ребенок — мальчик, младший — девочка.
- Старший ребенок — девочка, младший — мальчик.
- И старший, и младший ребенок - мальчики.
- И старшая, и младшая ребенок — девочки.
Нам известно, что один из детей — сын, поэтому для нас имеют значение только первые три варианта. Из приведенных примеров мы видим, что в двух из трех вариантов есть и девочка, и мальчик и только в одном варианте оба мальчики, поэтому правильная вероятность составляет 1/3. Согласно условию задачи, что один из детей — сын, имеет смысл рассматривать только второго ребенка, которая может быть как сыном, так и дочерью. Исходя из выше изложенного, вероятность составляет 1/2. Этот ответ будет правильным только тогда, когда каждый ребенок рассматривается отдельно, отвечая на вопрос «Какой процент вероятности, что второй ребенок — сын?». Но наша задача требует выполнения двух условий: какова вероятность, что один ребенок — сын (первое условие), и при том, что один ребенок точно сын?
Рассмотрим более подробно решение задачи:
Например, есть 4000 семей, имеющих двое детей. В первой группе с 2000 семей первый ребенок — сын. Во второй группе семей первой родилась дочь. Делим первую группу семей поровну: 1000 семей, где второй ребенок - сын; и 1000 семей, где второй ребенок - дочь. Вторую группу (где родилась первая девочка) также делим 1000 семей, где второй ребенок - сын и 1000 семей - дочь. Подводя итог, мы видим, что 1000 семей имеют двух сыновей (С + С), 1000 семей имеют двух дочерей (Д + Д), 2000 семей имеют и сына и дочь (С + Д) и (Д + С). По условиям задачи, семьи, где есть одни дочери, нас не интересуют. Который мы имеем вывод? С 3000 семей только 1000 имеет двух сыновей, а в 2000 семей имеют и сына и дочь. Поэтому вероятность, что дети разного пола, составляет 2/3.
Источник: https://scienceparadoxes.fandom.com
Парадокс дней рождений
Задача
Парадокс дней рождения — утверждение, из которого следует, что если есть какая-либо группа из 23 или более человек, то вероятность того, что хотя бы в двух из них дни рождения (число и месяц) могут совпасть, превышает 50%. Для группы из 60 или более человек вероятность совпадения дней рождения хотя бы в двух ее членов составляет более 99%, но 100% она достигает, только когда в группе не менее 367 человек (с учетом високосных лет).
Вопрос
Правильно это утверждение?
На первый взгляд, подобное утверждение противоречит здравому смыслу. Вероятность, что ребенок родится в определенный день года очень мала, а вероятность рождения двух случайных детей в один и тот же день еще меньше. Но благодаря теории вероятности это утверждение верно. В научном смысле это не является парадоксом — утверждение не имеет логического разногласия. Парадокс в том, что есть разница при восприятии информации на уровне интуиции и результатами математического вычисления.
Парадокс дней рождения — утверждение, из которого следует, что если есть какая-либо группа из 23 или более человек, то вероятность того, что хотя бы в двух из них дни рождения (число и месяц) могут совпасть, превышает 50%. Для группы из 60 или более человек вероятность совпадения дней рождения хотя бы в двух ее членов составляет более 99%, но 100% она достигает, только когда в группе не менее 367 человек (с учетом високосных лет).
Вопрос
Правильно это утверждение?
На первый взгляд, подобное утверждение противоречит здравому смыслу. Вероятность, что ребенок родится в определенный день года очень мала, а вероятность рождения двух случайных детей в один и тот же день еще меньше. Но благодаря теории вероятности это утверждение верно. В научном смысле это не является парадоксом — утверждение не имеет логического разногласия. Парадокс в том, что есть разница при восприятии информации на уровне интуиции и результатами математического вычисления.
Решение
Интуиция нам подсказывает, что в группе из 23 человек совпадение даты рождения для двух людей так низка, потому что рассматриваются любые два члена группы. И эта вероятность состоит из количества пар (22 пары), находящихся в этой группе людей. Порядок людей в парах с этой групп значения не имеет и общее количество пар исчисляется следующим образом 23 * 22/2 = 253. Когда видишь число 253, легко понимаешь, что среди такого количества пар людей совпадение даты рождения очень большое. Важно то, что парадокс дней рождения работает на совпадении дней рождения для любых двух членов группы людей.
Математические вычисления
Например, возьмем группу, в которую входит n человек. Среди такого количества людей нет родившихся в високосный год, нет близнецов, и рождение детей не зависит от дня недели или времени года. В жизни на самом деле все сложнее: летом рождаемость выше, а в некоторых странах за особый режим работы больниц рожают в отдельные дни. Такие условия увеличивают вероятность совпадения дня рождения. Если бы все дети рождались в понедельник, среду или пятницу, то совпадение было бы очень большим. В первую очередь рассмотрим, какая будет вероятность того, что все дни рождения разные. Назовем эту вероятность p (n), группа состоит из n человек. При условиях, что n больше 365 и в соответствии с принципом Дирихле вероятность равна 0. При условиях, n меньше или равно 365, подумаем так: для примера запомним день рождения отдельного человека.
Теперь возьмем второго человека и вероятность, что дни рождения не совпадают, равна 1-1 / 365. Таким образом, рассчитаем вероятность расхождения всех людей группы. Для n человека: 1- (n-1) / 365.
Ищем произведение всех вероятностей:
p¯ (n) = 1⋅ (1-1 / 365) ⋅ (1-2 / 365) ... (1-n-1/365) = 365⋅364 ... (365n + 1) 365n = 365! 365n (365 n)!
Таким образом, вероятность совпадения дня рождения у двух членов группы по количеству n людей равна p (n) = 1-p¯ (n).
Значение функции более 1/2 когда n = 23. При таком значении вероятность совпадения равна 50,7%. Для различных значений n вероятность совпадения приведена в таблице.
Интуиция нам подсказывает, что в группе из 23 человек совпадение даты рождения для двух людей так низка, потому что рассматриваются любые два члена группы. И эта вероятность состоит из количества пар (22 пары), находящихся в этой группе людей. Порядок людей в парах с этой групп значения не имеет и общее количество пар исчисляется следующим образом 23 * 22/2 = 253. Когда видишь число 253, легко понимаешь, что среди такого количества пар людей совпадение даты рождения очень большое. Важно то, что парадокс дней рождения работает на совпадении дней рождения для любых двух членов группы людей.
Математические вычисления
Например, возьмем группу, в которую входит n человек. Среди такого количества людей нет родившихся в високосный год, нет близнецов, и рождение детей не зависит от дня недели или времени года. В жизни на самом деле все сложнее: летом рождаемость выше, а в некоторых странах за особый режим работы больниц рожают в отдельные дни. Такие условия увеличивают вероятность совпадения дня рождения. Если бы все дети рождались в понедельник, среду или пятницу, то совпадение было бы очень большим. В первую очередь рассмотрим, какая будет вероятность того, что все дни рождения разные. Назовем эту вероятность p (n), группа состоит из n человек. При условиях, что n больше 365 и в соответствии с принципом Дирихле вероятность равна 0. При условиях, n меньше или равно 365, подумаем так: для примера запомним день рождения отдельного человека.
Теперь возьмем второго человека и вероятность, что дни рождения не совпадают, равна 1-1 / 365. Таким образом, рассчитаем вероятность расхождения всех людей группы. Для n человека: 1- (n-1) / 365.
Ищем произведение всех вероятностей:
p¯ (n) = 1⋅ (1-1 / 365) ⋅ (1-2 / 365) ... (1-n-1/365) = 365⋅364 ... (365n + 1) 365n = 365! 365n (365 n)!
Таким образом, вероятность совпадения дня рождения у двух членов группы по количеству n людей равна p (n) = 1-p¯ (n).
Значение функции более 1/2 когда n = 23. При таком значении вероятность совпадения равна 50,7%. Для различных значений n вероятность совпадения приведена в таблице.
БОНУС!
В снятом в 1971 году режиссером Феликсом Соболевым на киностудии «Киевнаучфильм» научно-популярном фильме «Я и другие» проводился социально-психологический эксперимент-парадокс под названием «Обе пирамидки». Огромную популярность получило исследование на внушаемость или конформность, проведенное с детьми дошкольного возраста и взрослыми.
Суть эксперимента
На столе находятся две пирамидки: черного и белого цвета. Трое детей по просьбе экспериментаторов говорят, что обе пирамидки белого цвета. На конформность проверяют четвертого ребенка. Дети настаивают, что обе пирамидки белые и четвертый ребенок соглашается с ними. Когда ей говорят взять в руки пирамидку черного цвета, она берет черную, хотя перед этим говорила, что обе пирамидки белого цвета. Когда исследование было проведено среди взрослых, результат всех поразил. По договоренности три человека называют цвет пирамидок белым. Несмотря на взрослый возраст, четвертый человек тоже называла пирамидки белыми. Опыт показал, что взрослые люди не могут выразить иную от коллектива мнение.
Воспользовавшись ссылкой https://www.youtube.com/watch?v=_LYe58b-3HM вы можете посмотреть фильм «Я и другие», опыт с пирамидками начинается с 17:30 минуты.
В снятом в 1971 году режиссером Феликсом Соболевым на киностудии «Киевнаучфильм» научно-популярном фильме «Я и другие» проводился социально-психологический эксперимент-парадокс под названием «Обе пирамидки». Огромную популярность получило исследование на внушаемость или конформность, проведенное с детьми дошкольного возраста и взрослыми.
Суть эксперимента
На столе находятся две пирамидки: черного и белого цвета. Трое детей по просьбе экспериментаторов говорят, что обе пирамидки белого цвета. На конформность проверяют четвертого ребенка. Дети настаивают, что обе пирамидки белые и четвертый ребенок соглашается с ними. Когда ей говорят взять в руки пирамидку черного цвета, она берет черную, хотя перед этим говорила, что обе пирамидки белого цвета. Когда исследование было проведено среди взрослых, результат всех поразил. По договоренности три человека называют цвет пирамидок белым. Несмотря на взрослый возраст, четвертый человек тоже называла пирамидки белыми. Опыт показал, что взрослые люди не могут выразить иную от коллектива мнение.
Воспользовавшись ссылкой https://www.youtube.com/watch?v=_LYe58b-3HM вы можете посмотреть фильм «Я и другие», опыт с пирамидками начинается с 17:30 минуты.
Друзья, делимся впечатлениями о парадоксов в комментариях. Слышали ли Вы об этих парадоксах раньше? Познавательная была для вас статья? Синкер рад будет услышать ваше мнение.
